Un’AI ha risolto da sola uno storico problema matematico

Le capacità dell’AI sono cresciute rapidamente negli ultimi anni, ma nessuno nella comunità dei matematici si attendeva un risultato così clamoroso come quello raggiunto da un chatbot di proprietà di OpenAI.

Il 20 maggio, l’azienda di San Francisco ha annunciato sul suo sito di aver falsificato una congettura geometrica formulata nel 1946 da Paul Erdős, matematico ungherese tra i più importanti di sempre. La soluzione da lui proposta al problema della distanza unitaria (unit-distance problem) è sempre stata ritenuta corretta, ma nessuno finora era stato in grado di provare definitivamente se fosse davvero la migliore possibile: è in questi casi che in matematica si parla di congettura.

La nuova soluzione proposta da OpenAI è stata verificata in modo indipendente da altri matematici, che ne hanno confermato la validità, ma ancora più sorprendente è il modo in cui questa soluzione è arrivata.

Non è insolito che oggi i matematici oggi si rivolgano all’AI per controllare se un procedimento elaborato da un ricercatore umano contiene degli errori, non diversamente da come un giornalista chiede a un sistema automatizzato di eliminare i refusi da un testo scritto di suo pugno. OpenAI non ha fornito tutti i dettagli su come è arrivata alla nuova soluzione, ma ha dichiarato che per ottenerla è stato sufficiente un solo prompt, formulato come una domanda aperta e non come richiesta di provare la veridicità o la falsità della congettura di Erdős.

Inoltre, questo prompt è stato dato non a un sistema addestrato appositamente per risolvere problemi matematici, ma a un modello generalista interno all’azienda, il cui nome tuttavia non è stato rivelato.

La congettura di Erdős

Quello impostato da Erdős 80 anni fa è un problema di geometria combinatoria, chiamato “della distanza unitaria” (unit-distance problem), che concettualmente è molto semplice. 

Immaginiamo di poter disporre tante puntine da disegno su un foglio. Lo scopo è avere il più alto numero possibile di coppie di puntine che stiano esattamente a distanza di 1 cm l’una dall’altra. Qual è la configurazione migliore? L’obiettivo è ottenere il più alto numero possibile di segmenti da 1 cm, i cui estremi siano due puntine.

Invece di puntine da disegno e fogli, in geometria di parla di n punti su un piano. Con pochi punti il problema è facile: se ne abbiamo tre, li disporremo a formare un triangolo equilatero, ottenendo tre segmenti da 1 cm. Con quattro punti, la soluzione migliore è un quadrato. Con sei punti però il maggior numero di segmenti non lo otteniamo più formando un poligono regolare, ossia un esagono (6 segmenti), ma formando due quadrati che abbiano un lato in comune: in questo modo avremo 7 segmenti da 1 cm.

Aumentando il numero di punti, cioè con un n molto grande, la situazione si complica ulteriormente, fino a diventare un rompicapo ingestibile. Ogni volta che si inserisce un nuovo punto per creare un nuovo segmento, si rischia di perderne molti altri.

Secondo Erdős la configurazione migliore era disporre i punti in una sorta di griglia regolare. Quella del matematico ungherese però era una congettura, non una dimostrazione. Nessun altro ricercatore fino a oggi era riuscito a proporre una configurazione alternativa che massimizzasse meglio della griglia il numero di distanze unitarie. Ci è riuscita però l’AI.

La soluzione di OpenAI

L’AI non ha fornito vere e proprie dimostrazioni, ma piuttosto ha trovato una serie di possibili configurazioni, diverse da quella di Erdős, che rispetto alla griglia ottengono un numero più elevato di distanze unitarie. In questo senso la congettura del matematico ungherese è stata falsificata.

Anche in questo caso, non è solo il risultato a essere sorprendente, ma il procedimento matematico che è stato usato per ottenerlo. I matematici finora avevano affrontato il problema con gli strumenti concettuali della geometria e della combinatoria, ossia di quella branca della matematica che studia le possibili combinazioni di configurazioni di un sistema.

Il modello di OpenAI invece ha percorso una strada più originale: ha attinto dalla teoria algebrica dei numeri, una branca della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri e delle loro relazioni. I punti sul piano sono stati trattati come coordinate che risultavano essere soluzioni di particolari equazioni. La configurazione ottenuta in questo modo non assomiglia a una griglia regolare, ma piuttosto a una disposizione più disordinata che però massimizza le coppie di punti a distanza unitaria.

“Questa dimostrazione rappresenta una tappa importante per le comunità della matematica e dell'AI” si legge sul sito di OpenAI. “Segna la prima volta in cui un importante problema aperto, centrale per un ambito della matematica, è stato risolto autonomamente dall'AI. Dimostra anche la profondità di ragionamento che questi sistemi oggi supportano”.

“Se Erdős fosse ancora vivo, sono certo che sarebbe entusiasta di questo progresso”, ha dichiarato a Nature Tom Trotter, matematico del Georgia Institute of Technology ad Atlanta, che ha firmato diversi articoli scientifici insieme a Paul Erdős.

AI, matematica e aziende private

Più di altre discipline scientifiche, la matematica è ritenuta il regno in cui il genio dell’intelletto umano può raggiungere le sue espressioni più elevate. Nessuno finora era riuscito a trovare una soluzione migliore di quella di Paul Erdős al problema della distanza unitaria. Ci è riuscita per prima l’AI, percorrendo per altro una strada originale.

Quello di OpenAI è probabilmente il primo risultato matematico davvero importante raggiunto autonomamente da un’intelligenza artificiale e per questo resterà sicuramente una pietra miliare nella storia della matematica e più in generale del rapporto tra AI e ricerca.

Probabilmente in futuro assisteremo ad altri esempi analoghi, ma riguardo a quello odierno restano delle domande aperte. Ogni volta che le si rivolge una domanda, l’AI generativa produce risultati creativi su base probabilistica, che non sono necessariamente veri, corretti o esatti, ma che suonano plausibili. Viene allora da chiedersi: se al sistema usato per generare la nuova soluzione venisse fornito nuovamente lo stesso prompt, darebbe ancora la stessa risposta che ha dato la prima volta o ne darebbe una diversa? E questa risposta sarebbe ancora matematicamente corretta o conterrebbe allucinazioni che la farebbero soltanto assomigliare a una soluzione corretta? Insomma, il fatto che OpenAI abbia falsificato correttamente la congettura di Erdős è stato un colpo di fortuna o una procedura riproducibile dal chatbot?

OpenAI ha pubblicato solo una parte delle 125 pagine di soluzione, ma non ha fornito dettagli sul modello che ha utilizzato. Al momento si possono avere risposte a queste domande, perché OpenAI non è un gruppo di ricerca che pubblica in modo trasparente i suoi lavori su riviste scientifiche, ma un’azienda che ha obiettivi di mercato e che difende la proprietà intellettuale dei suoi prodotti con il segreto industriale.