Foto di Alexandre Campbell/ICM2018

Certi ambiti di studio della matematica pura non hanno una diretta corrispondenza a forme geometriche o fenomeni dell’universo fisico che abitiamo. Esiste anche una classe di numeri che non possono propriamente dirsi reali, nel senso che non appartengono all’insieme dei numeri Reali: interi, decimali e periodici (ovvero razionali, come le frazioni, e irrazionali come la radice quadrata di 2).

Si tratta dei numeri p-adici, che danno vita a una geometria del tutto particolare: la geometria p-adica. In questo spazio tutti i triangoli sono isosceli, ogni punto all’interno di un cerchio è il centro di quel cerchio e gli oggetti che popolano questo mondo sono per lo più frattali. “È il concetto di distanza che è diverso nel mondo p-adico” spiega a Il Bo Live Peter Scholze, matematico giovane e geniale premiato con la medaglia Fields nel 2018, che il 24 maggio terrà una lectio magistralis a Padova in occasione dei 100 anni dell’Unione matematica italiana e degli 800 anni dell’università di Padova. “I fenomeni che accadono nel mondo p-adico sono molto diversi da quelli cui siamo abituati nel mondo reale”.

Invece di susseguirsi sulla linea dei numeri come farebbero i numeri Reali, “i numeri p-adici sono ordinati secondo una nozione completamente diversa di distanza, con cui è possibile cogliere alcuni fenomeni della teoria dei numeri e in particolare quelli che riguardano numeri divisibili per numeri primi” spiega Scholze (la p di p-adici sta infatti per numeri primi). “I numeri p-adici sono molto usati in teoria dei numeri e ricorrono in molte delle più importanti dimostrazioni”.

Per quanto bizzarro possa sembrare alla nostra modesta intuizione, questo mondo risponde a delle regole precise, che possono essere studiate, e a partire dalle quali si possono fare deduzioni e dimostrazioni. In altri termini, anche qui è possibile accendere il lumicino della scienza e imparare a conoscerlo, imparare a viverci. “Ho trascorso talmente tanto tempo nel mondo p-adico che trovo la geometria tradizionale molto più difficile” rivela Scholze.

Quello p-adico è un mondo possibile, ma non reale, in tutti i sensi, o quasi. Esplorarlo significa immergersi in un universo parallelo, in cui la maggior parte di noi non sarebbe in grado di orientarsi. Alcune immaginifiche menti sono però naturalmente dotate di una bussola, grazie alla quale sono in grado di disegnare una mappa, che permette ad altri di ritrovare le coordinate.

Quando si immerge in questo mondo Peter Scholze lo fa senza scrivere o prendere appunti. Per lo più tiene a mente i passaggi dei suoi ragionamenti, non solo in ufficio, ma spesso durante lunghe camminate. Del resto, Scholze ritiene che la nostra testa abbia capacità limitate, quindi non si possono rendere le cose troppo complicate. Una buona definizione degli oggetti che si vogliono studiare è già il primo passo di una buona dimostrazione. Quella da lui coniata di spazi perfettoidi descrive le unità fondamentali che compongono gli oggetti che popolano la geometria p-adica: “gli spazi perfettoidi sono un modo di guardare da vicino il mondo p-adico” spiega Scholze.

“La sola apparizione di questa idea fu come un sollevamento tettonico per tutto questo settore della matematica” ha raccontato Jared Weinstein, professore di matematica alla Boston University che ha collaborato con Scholze, in occasione del simposio del Fields Instiute del 2021. Peter Scholze aveva solo 22 anni quando pubblicò i suoi primi lavori sugli spazi perfettoidi. “Le università e gli istituti di ricerca di tutto il mondo iniziarono a organizzare conferenze e seminari per discutere le implicazioni di questi spazi perfettoidi”, che sono stati utilizzati per risolvere problemi e dimostrare congetture che erano rimasti irrisolte per decenni.

Platonismo matematico

“Io sono un convinto platonista matematico” dichiara Scholze, esponendosi in favore di una posizione filosofica (nota anche come realismo) che assegna ai fenomeni matematici una dignità ontologica indipendente dal soggetto che li conosce. Nonostante quindi i numeri p-adici non siano Reali e non abbiano a che fare direttamente con fenomeni del  mondo fisico, Scholze riconosce loro ugualmente una realtà. “Quando faccio ricerca ho la sensazione di scoprire qualcosa che esiste veramente. Sono convinto che ci siano degli oggetti che devono esistere e che io devo cercare di scoprire. Dall’altro lato tuttavia penso che una definizione precisa possa non riflettere esattamente ciò esiste effettivamente. A un certo punto è inevitabile dover sviluppare un linguaggio per trattare ciò di cui vuoi parlare. E questo linguaggio dovrebbe essere il più adatto possibile a riflettere i fenomeni matematici. È come se esistesse veramente un territorio da esplorare e per farlo dobbiamo disegnare una mappa. Ma qualcosa c’è veramente, non è che disegniamo una mappa a caso”.

Se la matematica sia una scoperta o un’invenzione, se la matematica esista indipendentemente dal soggetto che la osserva (come le idee platoniche, eterne e incorruttibili), o se invece sia un prodotto culturale della mente umana e dunque uno strumento elaborato per descrivere il mondo, è un dibattito da sempre aperto tra matematici e filosofi. Alessio Figalli ad esempio, medaglia Fields nello stesso anno di Peter Scholze, ritiene che la matematica sia un prodotto culturale della mente umana e non un’entità ontologicamente distaccata da essa.

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Spazi perfettoidi e geometria p-adica

La nostra quotidianità, e il nostro sistema cognitivo, sono abituati ad avere a che fare con figure quali triangoli e cerchi di cui possiamo individuare le coordinate su un piano cartesiano, e numeri interi, o con la virgola, che si dispongono lungo un’intuitiva linea immaginaria, che per la maggior parte di noi corre da sinistra a destra. La geometria che li rappresenta è quella euclidea, un sistema di regole, o più precisamente di assiomi, che ben si adagia sulle nostre capacità percettive. Ai matematici però piace mettere le mani sulle regole del gioco, riscriverle e vedere come a partire da queste nuove regole il gioco si svolge.

Ad esempio, come spiega Jared Weinstein al simposio del Fields Institute 2021 introducendo il lavoro di Peter Scholze, nell’universo dei numeri reali, normalmente i numeri decimali hanno cifre alla destra della virgola: pi greco si scrive 3,14159…; ma i matematici che si occupano di teoria dei numeri potrebbero chiedersi che proprietà avrebbero numeri che hanno cifre a sinistra della virgola. In questo caso pi greco si scriverebbe in modo speculare: …95141,3. Questo genere di numeri non quantificano nulla di specifico nel mondo reale, ma ad essi è possibile ancora applicare alcune proprietà dei numeri reali, come l’addizione e altre operazioni, che danno luogo a relazioni. In questo contesto è possibile definire le proprietà e le caratteristiche dei numeri p-adici, che furono descritti per la prima volta dal matematico tedesco Kurt Hensel nel 1897.

Una delle regole, o meglio degli assiomi fondamentali, che descrive la geometria euclidea è quello che definisce il piano euclideo, dove due rette parallele non si incontrano mai. Negli anni sono state date definizioni formali di diversi oggetti matematici fondamentali come il concetto di numero (data da Giuseppe Peano nel 1889), o quello di insieme (Zermelo, 1908, Fraenkel, 1922).

Nel XX secolo i matematici hanno studiato oggetti via via più complessi. Scholze ha creato la definizione di spazio perfettoide (nel 2011), ma anche quella di altri oggetti matematici astratti da lui chiamati diamanti (nel 2014), o quella di inisiemi condensati (nel 2018), con cui ha dato vita alla matematica condensata (titolo dell’intervento che terrà il 24 maggio a Padova). Per quanto semplici ed eleganti possano risultare agli occhi dei matematici le definizioni che Scholze ha tirato fuori dal suo cilindro, le loro combinazioni possono produrre risultati davvero complicati.

Scholze, i suoi collaboratori e altri matematici, le hanno usate per risolvere alcuni problemi fondamentali, come la congettura di monodromia di Weight (2011), la congettura di Ash-Sinnott (2013), la congettura di Sato-Tate (2018), e per dimostrare in ambito p-adico (per i matematici “locale”) la fattibilità del programma di Langlands (2021). Peter Scholze ha inventato, o scoperto (come direbbe lui), nuova matematica.

Il programma di Langlands

Nel 2021 assieme al matematico francese Laurent Fargues, Peter Scholze ha pubblicato un lavoro di 350 pagine intitolato Geometrizazion of the local Langlands correspondence. Come spiega Jared Weinstein, il lavoro di Scholze e Fargues va dritto al cuore del programma di Robert Langlands, matematico vincitore del premio Abel nel 2018, che, con il programma di ricerca che porta il suo nome, ha proposto la costruzione di una sorta di teoria unificante della matematica. L’ambizione di Langlands sarebbe quella di armonizzare oggetti e campi matematici molto diversi e distanti tra loro, creando una sorta di corrispondenza completa tra algebra e geometria, ampliando le intuizioni avute da Évariste Galois, geniale matematico francese morto a soli 21 anni in duello. Scholze ammette che il programma di Langlands mira a tenere insieme ambiti molto diversi tra loro, “ma parlare di una teoria unificante della matematica non ha senso”.

Nel 2014 all’università Berkeley, Scholze tenne una serie di lezioni, raccontate come un raro esempio di virtuosismo matematico da chi vi ha assistito, in cui presentò la nuova geometria da lui ideata, basata sui numeri p-adici e spazi perfettoidi. Fargues era presente a quelle lezioni e proprio in quegli anni aveva sviluppato un oggetto matematico, la curva di Fargues-Fountain, che però aveva bisogno di una geometria che la sorreggesse, ma che ancora non esisteva. I due si parlarono e decisero di lavorare al progetto per i successivi 7 anni. Pubblicarono nel 2021 il lavoro che per la prima volta stabiliva, nell’ambito locale della geometria p-adica (non ancora in quello generale dei numeri reali), una corrispondenza tra numeri e geometria che Robert Langlands aveva ipotizzato nel suo ambizioso programma.

Scholze oggi vorrebbe provare ad ampliare il suo lavoro sulla corrispondenza di Langlands al di fuori dei numeri p-adici e avventurarsi nel mondo, per lui esotico, dei numeri Reali, “ma sembra che quello che vogliamo fare sia molto diverso da quello che di solito viene fatto con la geometria tradizionale e i numeri reali, il che mi rende piuttosto confuso” scherza Scholze. “La geometria che la gente fa con i numeri reali non ha granché senso per me” dice Scholze ridendo. “Io la imposterei in modo molto diverso. Ma quello che farei io non risulta sensato a nessun altro! A eccezione forse del mio co-autore Dustin Clausen”.

Peter Scholze

Peter Scholze è professore all'Hausdorff Center of Mathematics dell'università di Bonn University e al Max Planck institute of Mathematics. Nato a Dresda nel 1987 e cresciuto a Berlino, ha raccolto 3 ori e un argento alle olimpiadi internazionali della matematica, una competizione per studenti delle scuole superiori. Ha frequentato l’università di Bonn e in 5 anni ha completato la laurea triennale (in 18 mesi), quella magistrale (in 12 mesi) e il dottorato (ottenuto nel 2012).

Quest’ultimo è stato svolto sotto la supervisione di Michael Rapoport, a propria volta allievo di Pierre Deligne, medaglia Fields nel 1978. Nel suo dottorato, Scholze ha risolto proprio alcuni problemi posti decenni prima da Deligne, ricorrendo a strumenti matematici del tutto originali e coniando nuove definizioni, come quella di spazi perfettoidi.

Scholze ha collaborato con diversi matematici, scrivendo migliaia di pagine di dimostrazioni, assieme alle quali sono giunti molti premi, tra cui il Clay research award nel 2014, il Frank Nelson Cole Prize e il premio Fermat nel 2015, il premio Leibniz nel 2016, fino alla medaglia Fields nel 2018, anche se il suo nome circolava già nel 2014: la questione non era tanto se avesse vinto la medaglia Fields, ma quando l’avrebbe vinta. Il riconoscimento più importante della matematica gli è stato assegnato per aver trasformato la geometria algebrica e aritmetica nel campo p-adico grazie all’introduzione del concetto di spazi perfettoidi, che hanno avuto applicazioni alle rappresentazioni di Galois, e per aver sviluppato nuove teorie di co-omologia, con applicazioni alla teoria di Hodge.